已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點（0，1），且離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）A，B為橢圓C的左右頂點，直線l：x=2
2
與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A，B的動點，直線AP，BP分別交直線l于E，F(xiàn)兩點．證明：當(dāng)點P在橢圓C上運(yùn)動時，|DE|•|DF|恒為定值．
（Ⅰ）由題意可知，b=1，
又因為e=
c
a
=
3
2
，且a2=b2+c2，
解得a=2，
所以橢圓的方程為
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）由題意可得：A（-2，0），B（2，0）．設(shè)P（x0，y0），由題意可得：-2＜x0＜2，
所以直線AP的方程為y=
y0
x0+2
(x+2)，令x=2
2
，則y=
(2
2
+2)y0
x0+2
，
即|DE|=(2
2
+2)
|y0|
|x0+2|
；
同理：直線BP的方程為y=
y0
x0-2
(x-2)，令x=2
2
，則y=
(2
2
-2)y0
x0-2
，
即|DF|=(2
2
-2)
|y0|
|x0-2|
；
所以|DE|•|DF|=(2
2
+2)
|y0|
|x0+2|
•(2
2
-2)
|y0|
|x0-2|
=
4
y20
|
x20
-4|
=
4
y20
4-
x20

而
x20
4
+
y20
=1，即4y02=4-x02，代入上式，
所以|DE|•|DF|=1，
所以|DE|•|DF|為定值1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案