Question

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN，M、S分別為PB，BC的中點(diǎn)．以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立如圖空間直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）證明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225218714161716/SYS201311012252187141617022_DA/0.png">，所以CM⊥SN．
（Ⅱ）由題意可得：，再求出平面CMN的一個(gè)法向量利用向量的有關(guān)運(yùn)算，求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線面角．
解答：解：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0）．
（Ⅰ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225218714161716/SYS201311012252187141617022_DA/5.png">，
所以，
所以CM⊥SN．
（Ⅱ）由題意可得：，
設(shè)=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量，，，
所以，，
所以可得．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225218714161716/SYS201311012252187141617022_DA/14.png">，
所以SN與平面CMN所成角為45°
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量的有關(guān)知識(shí)解決空間中線面、線線問(wèn)題，以及空間角等問(wèn)題．