Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足前n項(xiàng)和S_n=1-a_n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，求證：$\frac{1}{{_{1}}^{2}}+\frac{1}{{_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{_{n}}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=n．可得$\frac{1}{_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，n≥3時(shí)．利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 （1）解：∵S_n=1-a_n（n∈N^*），∴n=1時(shí)，a₁=1-a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=1-a_n-（1-a_n-1），解得${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）證明：b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=n．
∴$\frac{1}{_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，n≥3時(shí)．
∴$\frac{1}{{_{1}}^{2}}+\frac{1}{{_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{_{n}}^{2}}$≤1+$\frac{1}{4}$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$$＜\frac{7}{4}$（n=1，2時(shí)也成立）．
∴$\frac{1}{{_{1}}^{2}}+\frac{1}{{_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{_{n}}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．