Question

已知B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

．
（1）求點(diǎn)P（x，y）的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程．
（2）如果點(diǎn)A（m，2）在曲線C上，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE，且AD⊥AE，問(wèn)直線DE是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專(zhuān)題：壓軸題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

，可得

(x-1)2+y2

=1+x，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)P（x，y）的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程．
（2）將A（m，2）代入y²=4x可求m=1，從而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），設(shè)直線DE的方程為x=my+t代入y²=4x，整理得y²-4my-4t=0，設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）則y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t，利用

AD

•

AE

=0，代入可求．

解答： 解：（1）∵B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

，
∴

(x-1)2+y2

=1+x，
化簡(jiǎn)可得y²=4x；
（2）將A（m，2）代入y²=4x得m=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2）．
設(shè)直線DE的方程為x=my+t代入y²=4x，得y²-4my-4t=0，
設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t，△=（-4m）²+16t＞0（*）
∵AD⊥AE，∴

AD

•

AE

=0，
∴（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=0，
∴x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂-2（y₁+y₂）+4=0，
代入化簡(jiǎn)可得t²-6t+9=4m²+8m+4即（t-3）²=4（m+1）²
∴t-3=±2（m+1）
∴t=2m+5或t=-2m+1，代入（*）式檢驗(yàn)知只有t=2m+5滿足△＞0，
∴直線DE的方程為x=m（y+2）+5，
∴直線DE過(guò)定點(diǎn)（5，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了直線系方程的運(yùn)用，考查直線過(guò)定點(diǎn)，是有一定難度題目．