Question

【題目】廣場(chǎng)舞是現(xiàn)代城市群眾文化、娛樂發(fā)展的產(chǎn)物，其兼具文化性和社會(huì)性，是精神文明建設(shè)成果的一個(gè)重要指標(biāo)和象征.2015年某高校社會(huì)實(shí)踐小組對(duì)某小區(qū)跳廣場(chǎng)舞的人的年齡進(jìn)行了凋查，隨機(jī)抽取了40名廣場(chǎng)舞者進(jìn)行調(diào)查，將他們年齡分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）估計(jì)在40名廣場(chǎng)舞者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)；
（2）求40名廣場(chǎng)舞者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)的估計(jì)值；
（3）若從年齡在[20，40）中的廣場(chǎng)舞者中任取2名，求這兩名廣場(chǎng)舞者年齡在[30，40）中的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由頻率分布直方圖得年齡分布在[40，70）的頻率為（0.020+0.030+0.025）×10=0.75，

∴在40名廣場(chǎng)舞者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)為：40×0.75=30（人）

（2）解：年齡分布在[20，50）的頻率為（0.005+0.010+0.020）×10=0.35，

年齡分布在[50，60）的頻率為0.3，

∴中位數(shù)為：50+ =55．

平均數(shù)的估計(jì)值為：25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1=54

（3）解：從年齡在[20，40）中的廣場(chǎng)舞者有（0.005+0.010）×10×40=6人，

其中年齡在[20，30）中的廣場(chǎng)舞者有2人，年齡在[30，40）中的廣場(chǎng)舞者有4人，

∴X的可能取值為0，1，2，

P（X=0）= = ，

P（X=1）= = ，

P（X=2）= = ，

∴X的分布列為：

X	0	1	2
P

EX= =

【解析】（1）由頻率分布直方圖先求出年齡分布在[40，70）的頻率，由此能求出在40名廣場(chǎng)舞者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)．（2）利用頻率分布圖能求出40名廣場(chǎng)舞者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)的估計(jì)值．（3）從年齡在[20，40）中的廣場(chǎng)舞者有6人，其中年齡在[20，30）中的廣場(chǎng)舞者有2人，年齡在[30，40）中的廣場(chǎng)舞者有4人，X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．