Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，焦點(diǎn)為、，直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，并與相交于、兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）在上是否存在、兩點(diǎn)，滿足//，？若存在，求直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在滿足條件的直線

【解析】

試題（1）由橢圓幾何性質(zhì)求得得到橢圓方程；（2）首先設(shè)出CD直線，與橢圓聯(lián)立整理為的二次方程，找到根與系數(shù)的關(guān)系，由已知轉(zhuǎn)化出，代入點(diǎn)的坐標(biāo)整理求的的值，最后要注意驗(yàn)證二次方程中是否成立

試題解析：（1）依題意，，由得

，橢圓的方程為

（2）（方法一）若存在滿足條件的直線，∵，∴，

設(shè)直線的方程為

由……6分，得，

（*）

設(shè)，，則，

若線段的中點(diǎn)為，則即

由已知，則，，，由，解得

時(shí)，，與（*）矛盾，∴不存在滿足條件的直線

（方法二）假設(shè)存在，，線段的中點(diǎn)為，則，由兩式相減得

代入、化簡(jiǎn)得：①

由已知，則，由得，② 由①②解得，即直線CD的方程為：

聯(lián)立得，∵，方程組無(wú)解，

∴不存在滿足條件的直線