Question

已知真命題：過(guò)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)左頂點(diǎn)A（-a，0）作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于另外兩點(diǎn)M、N，則直線MN過(guò)定點(diǎn)P(

a(a2-b2)

a2+b2

，0)．類比此命題，寫出關(guān)于拋物線y²=2px（p＞0）的一個(gè)真命題：

過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于另外兩點(diǎn)M、N，則直線MN過(guò)定點(diǎn)P（2p，0）

．

Answer 1

分析：由類比推理，來(lái)得到關(guān)于拋物線的類似結(jié)論，易知在拋物線中有“過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于另外兩點(diǎn)M、N，則直線MN過(guò)定點(diǎn)P（2p，0）”求解即可．

解答：解：已知過(guò)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)左頂點(diǎn)A（-a，0）作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于另外兩點(diǎn)M、N，則直線MN過(guò)定點(diǎn)P(

a(a2-b2)

a2+b2

，0)．
類比此命題，取特殊的拋物線：直線l與拋物線y²=2x相交于A、B兩點(diǎn)，O為拋物線的頂點(diǎn)，若OA⊥OB．證明：直線l過(guò)定點(diǎn)如下：
證明：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（I）當(dāng)直線l有存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．（2分）
聯(lián)立方程得：

y=kx+b y2=2x

消去y得k²x²+（2kb-2）x+b²=0
由題意：x1x2=

b2

k2

，&

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=

2b

k

（5分）
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，（7分）
即

b2

k2

+

2b

k

=0，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）
故直線l的方程為：y=kx-2k=k（x-2），故直線過(guò)定點(diǎn)（2，0）（11分）
（II）當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)，設(shè)它的方程為x=m，顯然m＞0
聯(lián)立方程得：

x=m y2=2x

解得 y=±

2m

，即y₁y₂=-2m
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2
可知直線l方程為：x=2，故直線過(guò)定點(diǎn)（2，0）
綜合（1）（2）可知，滿足條件的直線過(guò)定點(diǎn)（2，0）．
故寫出關(guān)于拋物線y²=2px（p＞0）的一個(gè)真命題：過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于另外兩點(diǎn)M、N，則直線MN過(guò)定點(diǎn)P（2p，0）
故答案為：過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于另外兩點(diǎn)M、N，則直線MN過(guò)定點(diǎn)P（2p，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查類比推理，可以先猜測(cè)在拋物線中成立的命題在橢圓里面也成立．再計(jì)算在這個(gè)具體的橢圓里面所求的定值．關(guān)于橢圓的一個(gè)恒等式：“

1

|AF|

+

1

|BF|

=

2a

b2

”是一個(gè)經(jīng)常用到的式子，在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中希望大家多總結(jié)．