Question

設x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若 ，求b的最大值；
（III）設函數(shù)g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），當x₂=a時，求|g（x）|的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依題意又-1和2是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根，
∴，解得，
∴f（x）=6x³-9x²-36x（經檢驗，適合）…3′
（Ⅱ）∵f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），依題意，x₁、x₂是方程f′（x）=0的兩個根，
∵x₁x₂=-＜0且|x₁|+|x₂|=2，
∴=8．
∴+=8，
∴b²=3a²（6-a），
∵b²≥0，
∴0＜a≤6．
設p（a）=3a²（6-a），則p′（a）=-9a²+36a．
由p′（a）＞0得0＜a＜4，由p′（a）＜0得a＞4，
即p（a）在區(qū)間（0，4]上是增函數(shù)，在區(qū)間[4，6]上是減函數(shù)，
∴當a=4時p（a）有極大值96．
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值為4．-----（9分）
（Ⅲ）證明：∵x₁、x₂是方程f′（x）=0的兩個根，
∴f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．
∵x₁x₂=-，x₂=a，
∴x₁=-．
∴|g（x）|=|3a（x+）（x-a）-a（x+）|=|a（x+）[3（x-a）-1]|，
∵x₁＜x＜x₂，即-＜x＜a，
∴|g（x）|=a（x+）（-3x+3a+1）
=-3a（x+）（x-）
=-3a++a²+a
≤+a²+a
=．
|g（x）|_max=，當且僅當x=時取“=”…15′
分析：（Ⅰ）依題意，-1和2是f′（x）=3ax²+2bx-a²=0的兩根，由韋達定理可求得a，b的值，從而得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）依題意，x₁、x₂是方程f′（x）=0的兩個根，又且|x₁|+|x₂|=2，有=8．由韋達定理可求得b²=3a²（6-a），0＜a≤6，構造函數(shù)p（a）=3a²（6-a），通過導數(shù)法可求得p（a）的極大值，從而可得b的最大值；
（Ⅲ）由題意得，f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），x₂=a，可求得x₁=-，從而有|g（x）|=|3a（x+）（x-a）-a（x+）|=|a（x+）[3（x-a）-1]|=-3a++a²+a，于是可求得|g（x）|_max=．
點評：本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，突出構造函數(shù)的思想與化歸思想的綜合運用，屬于難題．