Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求a的取值范圍；

（3）已知，證明．

Answer 1

【答案】（1）在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞減 （2） （3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，分析出的正負(fù)，從而得的單調(diào)區(qū)間；

（2）由已知分離變量得恒成立．設(shè)，則，對(duì) 求導(dǎo)，分析出的正負(fù)，從而得的單調(diào)區(qū)間和最值，可得a的取值范圍；

（3）欲證，兩邊取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為，由（2）可知的單調(diào)性，可得證．

由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>且，

（1）當(dāng)時(shí)，，

若，則；若，則，

所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．

（2）若恒成立，則恒成立．

又因?yàn)?/span>，所以分離變量得恒成立．

設(shè)，則，所以．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，，所以.

（3）欲證，兩邊取對(duì)數(shù)，可得，

由（2）可知在上單調(diào)遞增，且所以，命題得證．