Question

7．△ABC中，tanA=$\frac{1}{3}$，B=$\frac{π}{4}$．若橢圓E以AB為長(zhǎng)軸，且過(guò)點(diǎn)C，則橢圓E的離心率是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知求得sinA、sinB、sinC的值，設(shè)出BC的長(zhǎng)度，再由題意建系求出橢圓的方程，進(jìn)一步求得橢圓E的離心率．

解答 解：由tanA=$\frac{1}{3}$，得sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
又B=$\frac{π}{4}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
由正弦定理可得BC：CA：AB=sinA：sinB：sinC=1：$\sqrt{5}$：$2\sqrt{2}$．
不妨取BC=1，CA=$\sqrt{5}$，AB=$2\sqrt{2}$．
以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)建系（C在上方），D是C在AB上的射影．
求得AD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴點(diǎn)C（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
設(shè)橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，則a²=2，且$\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1$，解得：$^{2}=\frac{2}{3}$，
∴${c}^{2}={a}^{2}-^{2}=\frac{4}{3}$．
∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．