Question

（2007•天津一模）已知函數(shù)f（x）=

2

3

x3-2ax2-3x（a∈R）．
（1）當(dāng)|a|≤

1

4

時(shí)，求證f（x）在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證，得到結(jié)果．
（2）設(shè)出極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)在所給的區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行討論，得到結(jié)果．

解答：解：（1）f'（x）=2x²-4ax-3，對(duì)稱軸x=a∈[-

1

4

，

1

4

]?(-1，1)
f′(x)min=f′(a)=-2a2-3＜0，f′(1)=-2a-

7

2

＜0，f′(-1)=2a-

7

2

＜0
f′（x）_max=maxf′（1），f′（-1）＜0，
∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
（2）∵f（x）在（-1，1）內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f'（x）=0有兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂且x₁∈（-1，1），x₂∉（-1，1）．
若x₁∈（-1，1），x₂∈（-∞，-1）∪（1，+∞），f'（-1）•f'（1）＜0
∴a＞

1

4

或a＜-

1

4

．
經(jīng)檢驗(yàn)x₂=-1或x₂=1時(shí)x₁∉（-1，1）．
∴a＞

1

4

或a＜-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．