Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0
（1）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大、最小值；
（3）要使函數(shù)f（x）在[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)，求b的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（1）=0得1+b+c=0，由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)得b=0，進(jìn)而求出c值，可得f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，分析函數(shù)f（x）在[-1，3]上的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大、最小值；
（3）f（x）=x²+bx+c的圖象是開口朝上，且以直線x=-

b

2

為對稱軸的拋物線，若f（x）=x²+bx+c在[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)，則區(qū)間[-1，3]在對稱軸的一側(cè)，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于b的不等式，解得b的范圍．

解答： 解：由f（1）=0，得1+b+c=0，①
（1）∵是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即x²-bx+c=x²+bx+c，
∴b=0，c=-1，
∴函數(shù)f（x）=x²-1；
（2）由（1）得f（x）=x²-1，
由f（x）=x²-1在[-1，0]上為減函數(shù)，在[0，3]上為增函數(shù)，
故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值-1；當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值8；
（3）∵f（x）=x²+bx+c的圖象是開口朝上，且以直線x=-

b

2

為對稱軸的拋物線，
若f（x）=x²+bx+c在[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)，
則-

b

2

≤-1，或-

b

2

≥3，
∴b≥2，或b≤-6，
即b的取值范圍是（-∞，-6]∪[2，+∞）

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，熟練熟練二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．