Question

如圖，在四棱錐D′-ABCE中，底面為直角梯形，AB=2BC=2CE=2，且AB⊥BC，AB∥CE，平面D′AE⊥平面ABCE．
（1）求證：AD′⊥EB；
（2）若D′A⊥D′E，D′A=D′E，求直線AC與平面ABD′所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AB中點H，連接CH，則CH∥AE，由AB=2BC=2CE=2，可得四邊形BCEH為正方形，從而可得BE⊥AE，進而可證BE⊥平面D′AE，故AD′⊥EB；
（2）D′在底面上的射影為AE中點G，設AC∩HE=0，過G作AB的垂線，垂足為F，連接D′F，過G作D′F的垂線，垂足為M，則GM等于O到面ABD′的距離，求出GM，AO的長，即可得到直線AC與平面ABD′所成角的正弦值．
解答：（1）證明：∵平面D′AE⊥平面ABCE，
∴AD′在底面ABCE上的射影落在AE上
取AB中點H，連接CH，則CH∥AE
∵AB=2BC=2CE=2，∴四邊形BCEH為正方形，
∴BE⊥CH，CH∥AE
∴BE⊥AE
∵平面D′AE⊥平面ABCE，平面D′AE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面D′AE
∴AD′⊥EB；
（2）解：由題意可知，D′在底面上的射影為AE中點G，設AC∩HE=0，則OG∥AB，∴G與O到平面ABD′的距離相等
過G作AB的垂線，垂足為F，連接D′F，過G作D′F的垂線，垂足為M，
則GM等于O到面ABD′的距離
在直角△D′GF中，F(xiàn)G=，D′G-，AO=，∴GM=
設直線AC與平面ABD′所成角為α，則sinα==
∴直線AC與平面ABD′所成角的正弦值為．
點評：本題考查線面垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定方法，求出點面距離，從而可求直線AC與平面ABD′所成角的正弦值，