Question

已知橢圓G與雙曲線12x²-4y²=3有相同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P(1，

3

2

)．
（1）求橢圓G的方程；
（2）設(shè)F₁、F₂是橢圓G的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)F₂的直線l：x=my+1與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)△ABF₁的內(nèi)切圓M的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），2a=|PF₁|+|PF₂|=4，從而可求a，c，結(jié)合以b²=a²-c²可求b，進(jìn)而可求橢圓G的方程
（2）設(shè)△ABF₁內(nèi)切圓M的半徑為r，與直線l的切點(diǎn)為C，則三角形S△ABF1=S△ABM+S△AMF1+S△BMF1即S△ABF1=

1

2

(|AB|+|AF1|+|BF1|)r=

1

2

[(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)]r=2ar=4r，當(dāng)S△ABF1最大時(shí)，r也最大，△ABF₁內(nèi)切圓的面積也最大，而S△ABF1=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2|=y1-y2，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：（1）雙曲線12x²-4y²=3的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0），所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）…（1分）
設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，則2a=|PF₁|+|PF₂|=4，即a=2，
又c=1，所以b²=a²-c²=3∴橢圓G的方程

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（2）如圖，設(shè)△ABF₁內(nèi)切圓M的半徑為r，與直線l的切點(diǎn)為C，
則S△ABF1=S△ABM+S△AMF1+S△BMF1
即S△ABF1=

1

2

(|AB|+|AF1|+|BF1|)r=

1

2

[(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)]r=2ar=4r
當(dāng)S△ABF1最大時(shí)，r也最大，△ABF₁內(nèi)切圓的面積也最大，…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），則S△ABF1=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2|=y1-y2，
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，…（9分）
解得y1=

-3m+6 m2+1

3m2+4

，y2=

-3m-6 m2+1

3m2+4

，
∴S△ABF1=

12 m2+1

3m2+4

，令t=

m2+1

，則t≥1，且m²=t²-1，
有S△ABF1=

12t

3(t2-1)+4

=

12t

3t2+1

=

12

3t+ 1 t

，令f(t)=3t+

1

t

，則f′(t)=3-

1

t2

，…（11分）
當(dāng)t≥1時(shí)，f'（t）＞0，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，有f（t）≥f（1）=4，S△ABF1≤

12

4

=3，
即當(dāng)t=1，m=0時(shí)，4r有最大值3，得rmax=

3

4

，這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積為

9

16

π，…（12分）
∴存在直線l：x=1，△ABF₁的內(nèi)切圓M的面積最大值為

9

16

π．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)及定義求解橢圓的方程，直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，難點(diǎn)是計(jì)算量較大，是解題中要求考試具備一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力