Question

已知橢圓G與雙曲線(xiàn)12x²－4y²＝3有相同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P(1，)．

(1)求橢圓G的方程；

(2)設(shè)F₁、F₂是橢圓G的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)F₂的直線(xiàn)l：x＝my＋1與橢圓G相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)△ABF₁的內(nèi)切圓M的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線(xiàn)l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為　1分 　　設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，即， 　　又，所以 　　∴橢圓G的方程　5分 　　(2)如圖，設(shè)內(nèi)切圓M的半徑為，與直線(xiàn)的切點(diǎn)為C，則三角形的面積等于的面積＋的面積＋的面積． 　　即 　　當(dāng)最大時(shí)，也最大，內(nèi)切圓的面積也最大，　7分 　　設(shè)、()，則， 　　由，得，　9分 　　解得，， 　　∴，令，則，且， 　　有，令，則，　11分 　　當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，有，， 　　即當(dāng)，時(shí)，有最大值，得，這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積為，　12分 　　∴存在直線(xiàn)，的內(nèi)切圓M的面積最大值為．　13分