Question

如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB=2，AD=1．沿AC把△ACD折起，使二面角D₁-AC-B為直二面角，求二面角A-D₁B-C的余弦值．

Answer 1

分析：以點B為坐標原點，平在ABC為xOy平面，BC，BA方向分別為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標系，在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N，求出平面D₁BC的法向量和平面D₁BA的法向量，然后求出兩法向量的夾角的余弦值，從而求出二面角A-D₁B-C的余弦值．

解答：
解：以點B為坐標原點，平在ABC為xOy平面，BC，BA方向分別為x軸，y軸的正方向，
建立空間直角坐標系．則B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，2，0）．
在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N，易知H即為D₁在平面ABC上的身影．
∵AB=2，AD=1，∴AC=

5

，DH=

2

5

，HN=

1

5

，HM=

8

5

，
∴D1(

1

5

，

8

5

，

2 5

5

)，
設平面D₁BC的法向量為

n

=(a，b，c)，

BC

=(1，0，0)，

BA

=(0，2，0)
∵

n

•

BC

=0，

n

•

D1B

=0，
∴

a=0 a+8b+2 5 c=0

，
∴

n

=(0，

5

，-4)．
設平面D₁BA的法向量為

m

=(x，y，z)，
∵

m

•

BA

=0，

m

•

D1B

=0，
∴

y=0 x+8y+2 5 z=0

，∴

m

=(2

5

，0，-1)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

4

21

．
二面角A-D₁B-C的余弦值為

4

21

．

點評：本題考查了利用空間向量求解二面角的大小，以及考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于常規(guī)題．