Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax．
（Ⅰ）若為f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a=-1使，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)極值點(diǎn)的信息，我們要用導(dǎo)數(shù)法，所以先求導(dǎo)，則的極值點(diǎn)，則有從而求得結(jié)果．
（II）由f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，則有f′（x）≥0，x∈[1，+∞）上恒成立求解．
（III）將a=-1代入，方程，可轉(zhuǎn)化為b=xlnx+x²-x³，x＞0上有解，只要求得函數(shù)g（x）=xlnx+x²-x³的值域即可．
解答：解：（I）=
∵的極值點(diǎn)，∴，
∴，解得a=0
又當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=x（3x-2），從而的極值點(diǎn)成立．
（II）因?yàn)閒（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
所以上恒成立．（6分）
若a=0，則f'（x）=x（3x-2），此時(shí)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)成立，故a=0符合題意
若a≠0，由ax+1＞0對(duì)x＞1恒成立知a＞0．
所以3ax²+（3-2a）x-（a²+2）≥0對(duì)x∈[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=3ax²+（3-2a）x-（a²+2），其對(duì)稱軸為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212948758061770/SYS201310232129487580617020_DA/12.png">，從而g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
所以只要g（1）≥0即可，即-a²+a+1≥0成立
解得
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212948758061770/SYS201310232129487580617020_DA/14.png">．（10分）
綜上可得即為所求
（III）若a=-1時(shí)，方程
可得
即b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在x＞0上有解
即求函數(shù)g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
法一：b=x（lnx+x-x²）令h（x）=lnx+x-x²
由∵x＞0∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＞0，
從而h（x）在（0，1）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＜0，從而h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)．
∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以無(wú)窮小．∴b的取值范圍為（-∞，0]（15分）
法二：g'（x）=lnx+1+2x-3x²
當(dāng)，所以上遞增；
當(dāng)，所以上遞減；
又g'（1）=0，∴∴當(dāng)0＜x＜x時(shí)，g'（x）＜0，
所以g（x）在0＜x＜x上遞減；當(dāng)x＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0，
所以g（x）在x＜x＜1上遞增；當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜0，所以g（x）在x＞1上遞減；
又當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→-∞，
當(dāng)x→0時(shí)，，則g（x）＜0，且g（1）=0所以b的取值范圍為（-∞，0]
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求最值和極值中的應(yīng)用，變形與轉(zhuǎn)化是導(dǎo)數(shù)法解題中的關(guān)鍵．