【題目】已知函數(shù),(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增;(2).
【解析】
(1)將代入解析式,并求得,令并求得;由的符號(hào)可判斷的單調(diào)性,進(jìn)而求得,即可由符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)根據(jù)不等式及函數(shù)的解析式,代入后化簡(jiǎn)變形,并令,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式,分離常數(shù)后構(gòu)造函數(shù),求得后,再構(gòu)造函數(shù),求得;由的符號(hào)可判斷的單調(diào)性,進(jìn)而可知存在使得,從而判斷出的單調(diào)性與極值點(diǎn),結(jié)合函數(shù)解析式求得,即可由恒成立問題求得的取值范圍.
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù),
則,
令,
則,令,解得,
所以當(dāng)時(shí),,在時(shí)單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,在時(shí)單調(diào)遞增,
即,
所以,
即函數(shù)在上單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,
代入可得,
因?yàn)?/span>,化簡(jiǎn)可得,即,
令,所以
則不等式可化為,
變形可得,
令,
則,
令,則,
令,解得,
當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞增,
而,
,,
所以存在使得,
從而當(dāng)時(shí),則在時(shí)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,則在時(shí)單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,則在時(shí)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,則在時(shí)單調(diào)遞減.
則在或處取得最大值,
而,,
因?yàn)?/span>,即
則,
綜上可知,的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期,我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào),鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系,對(duì)高三年級(jí)隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷,其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人,余下的人中,在檢測(cè)考試中數(shù)學(xué)平均成績(jī)不足120分的占,統(tǒng)計(jì)成績(jī)后得到如下列聯(lián)表:
分?jǐn)?shù)不少于120分 | 分?jǐn)?shù)不足120分 | 合計(jì) | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí) | 4 | 19 | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí) | |||
合計(jì) | 45 |
(1)請(qǐng)完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”;
(2)①按照分層抽樣的方法,在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生,設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的人數(shù)是,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);
②若將頻率視為概率,從全校高三該次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人,求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.
(下面的臨界值表供參考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】多面體歐拉定理是指對(duì)于簡(jiǎn)單多面體,其各維對(duì)象數(shù)總滿足一定的數(shù)量關(guān)系,在三維空間中,多面體歐拉定理可表示為:頂點(diǎn)數(shù)+表面數(shù)-棱長(zhǎng)數(shù)=2.在數(shù)學(xué)上,富勒烯的結(jié)構(gòu)都是以正五邊形和正六邊形面組成的凸多面體,例如富勒烯(結(jié)構(gòu)圖如圖)是單純用碳原子組成的穩(wěn)定分子,具有60個(gè)頂點(diǎn)和32個(gè)面,其中12個(gè)為正五邊形,20個(gè)為正六邊形.除外具有封閉籠狀結(jié)構(gòu)的富勒烯還可能有,,,,,,,等,則結(jié)構(gòu)含有正六邊形的個(gè)數(shù)為( )
A.12B.24C.30D.32
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,點(diǎn),()在曲線C:上,直線l過點(diǎn)且與垂直,垂足為P.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求在直角坐標(biāo)系下點(diǎn)P坐標(biāo)和l的方程;
(Ⅱ)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段上時(shí),求點(diǎn)P在極坐標(biāo)系下的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若a,b∈R.則“關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根”是“a >|b|+1”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為,、分別為橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)已知橢圓的切線(與橢圓有唯一交點(diǎn))的方程為,切線與直線和直線分別交于點(diǎn)、,求證:為定值,并求此定值;
(3)設(shè)矩形的四條邊所在直線都和橢圓相切(即每條邊所在直線與橢圓有唯一交點(diǎn)),求矩形的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某城市對(duì)一項(xiàng)惠民市政工程滿意程度(分值:分)進(jìn)行網(wǎng)上調(diào)查,有2000位市民參加了投票,經(jīng)統(tǒng)計(jì),得到如下頻率分布直方圖(部分圖):
現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有參與網(wǎng)上投票的市民中隨機(jī)抽取位市民召開座談會(huì),其中滿意程度在的有5人.
(1)求的值,并填寫下表(2000位參與投票分?jǐn)?shù)和人數(shù)分布統(tǒng)計(jì));
滿意程度(分?jǐn)?shù)) | |||||
人數(shù) |
(2)求市民投票滿意程度的平均分(各分?jǐn)?shù)段取中點(diǎn)值);
(3)若滿意程度在的5人中恰有2位為女性,座談會(huì)將從這5位市民中任選兩位發(fā)言,求男性甲或女性乙被選中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017·衢州調(diào)研)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠ADC=120°,AD的中點(diǎn)M是頂點(diǎn)P在底面ABCD的射影,N是PC的中點(diǎn).
(1)求證:平面MPB⊥平面PBC;
(2)若MP=MC,求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形與正方形所成角的二面角的平面角的大小是是正方形所在平面內(nèi)的一條動(dòng)直線,則直線與所成角的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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