Question

某工廠欲加工一件藝術品，需要用到三棱錐形狀的坯材，工人將如圖所示的長方體ABCD­EFGH材料切割成三棱錐H­ACF.

(1)若點M，N，K分別是棱HA，HC，HF的中點，點G是NK上的任意一點，求證：MG∥平面ACF；

(2)已知原長方體材料中，AB＝2 m，AD＝3 m，DH＝1 m，根據(jù)藝術品加工需要，工程師必須求出該三棱錐的高．工程師設計了一個求三棱錐的高度的程序，其框圖如圖所示，則運行該程序時乙工程師應輸入的t的值是多少？

Answer 1

 (1)證明：∵HM＝MA，HN＝NC，HK＝KF，∴MK∥AF，MN∥AC.

∵MK⊄平面ACF，AF⊂平面ACF，∴MK∥平面ACF，

同理可證MN∥平面ACF，

∵MN，MK⊂平面MNK，且MK∩MN＝M，

∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF.

(2)由程序框圖可知a＝CF，b＝AC，c＝AF，

∴d＝＝＝cos∠CAF，

∴e＝bc＝AC·AF·sin∠CAF＝S_△ACF.

又h＝，∴t＝he＝h·S_△ACF＝V_{三棱錐H­ACF}.

∵三棱錐H­ACF為將長方體ABCD­EFGH切掉4個體積相等的小三棱錐所得，

∴V_{三棱錐H­ACF}＝2×3×1－4×××3×2×1＝6－4＝2，故t＝2.