【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別是，，，是其左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為6，若面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于，兩個(gè)不同點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在一條定直線上.

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用橢圓的定義，可求出周長(zhǎng)的表達(dá)式，當(dāng)點(diǎn)是橢圓的上（或下）頂點(diǎn)時(shí)，面積有最大值為，列出等式，結(jié)合，求出橢圓方程；

（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到一個(gè)一元二次方程，求出直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得出結(jié)論。

解：（1）由題意得

橢圓的方程為；

（2）由（1）得，，，設(shè)直線的方程為，

，，由，得，

，，，

直線的方程為，直線的方程為，

，，

，直線與的交點(diǎn)在直線上.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)軟件層出不窮.為調(diào)查某款訂餐軟件的商家的服務(wù)情況，統(tǒng)計(jì)了10次訂餐“送達(dá)時(shí)間”，得到莖葉圖如下：（時(shí)間：分鐘）

（1）請(qǐng)計(jì)算“送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)與方差：

（2）根據(jù)莖葉圖填寫(xiě)下表：

送達(dá)時(shí)間

35分組以內(nèi)（包括35分鐘）

超過(guò)35分鐘

頻數(shù)

A

B

頻率

C

D

在答題卡上寫(xiě)出，，，的值；

（3）在（2）的情況下，以頻率代替概率.現(xiàn)有3個(gè)客戶應(yīng)用此軟件訂餐，求出在35分鐘以內(nèi)（包括35分鐘）收到餐品的人數(shù)的分布列，并求出數(shù)學(xué)期望.

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（Ⅰ）按分層抽樣的方法從單果直徑落在[80，85），[85，90）的蘋(píng)果中隨機(jī)抽取6個(gè)，再?gòu)倪@6個(gè)蘋(píng)果中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這兩個(gè)蘋(píng)果單果直徑均在[85，90）內(nèi)的概率；

（Ⅱ）以此莖葉圖中單果直徑出現(xiàn)的頻率代表概率.已知該精準(zhǔn)扶貧戶有20000個(gè)約5000千克蘋(píng)果待出售，某電商提出兩種收購(gòu)方案：

方案：所有蘋(píng)果均以5.5元/千克收購(gòu)；

方案：按蘋(píng)果單果直徑大小分3類裝箱收購(gòu)，每箱裝25個(gè)蘋(píng)果，定價(jià)收購(gòu)方式為：?jiǎn)喂睆?在[50，65）內(nèi)按35元/箱收購(gòu)，在[65，90）內(nèi)按50元/箱收購(gòu)，在[90，95]內(nèi)按35元/箱收購(gòu).包裝箱與分揀裝箱工費(fèi)為5元/箱.請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該精準(zhǔn)扶貧戶推薦收益最好的方案.

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（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

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