Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，E、F分別為PC、BD的中點，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）連結AC，則F是AC的中點，E為PC的中點，利用三角形中位線的性質，可知EF∥PA，利用線面平行的判定定理，即可得出結論；
（2）先證明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，再證明PA⊥PD，可得PA⊥平面PCD，從而可得平面PAB⊥平面PCD．

解答：證明：（1）連結AC，則F是AC的中點，E為PC的中點，
故在△CPA中，EF∥PA，…（2分）
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD…（6分）
（2）因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以，CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA
又PA=PD=

2

2

AD，
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=

π

2

，即PA⊥PD
又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，
又PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD…（12分）

點評：本題考查線面平行的判定，考查面面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．