Question

已知函數(shù)f（x）=x+

4

x

．
（Ⅰ）用定義證明：f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅱ）若

x+4

x-a

＞0對任意x∈[4，5]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)增函數(shù)的定義，只需說明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（Ⅱ）若

x+4

x-a

＞0對任意x∈[4，5]恒成立，則a＜x對任意x∈[4，5]恒成立，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
∵2≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）=x+

4

x

在[2，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅱ）解：∵

x+4

x-a

＞0對任意x∈[4，5]恒成立，
∴x-a＞0對任意x∈[4，5]恒成立，
∴a＜x對任意x∈[4，5]恒成立，
∴a＜4．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查恒成立問題，屬中檔題．