Question

已知集合A={x|x²+px-2q=0}，B={x|x²+qx-4q²+2p=0}，試判斷“實(shí)數(shù)p=q=1”是“1∈A∩B”的什么條件，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義，以及集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論．

解答： 解：“實(shí)數(shù)p=q=1”是“1∈A∩B”的充分不必要條件．
證明：
若p=q=1，則A={x|x²+px-2q=0}={x|x²+x-2=0}={x|x=1或x=-2}={1，-2}，
B={x|x²+qx-4q²+2p=0}={x|x²+x-2=0}={x|x=1或x=-2}={1，-2}，
∴A∩B={1，-2}，
∴1∈A∩B正確．
若1∈A∩B，
則

1+p-2q=0 1+q-4q2+2p=0

，
即1+q-4q²+2（2q-1）=0，
∴4q²-5q+1=0，解得q=1或q=

1

4

，
當(dāng)q=1時，p=1，
當(dāng)q=

1

4

時，p=-

1

2

．
∴“實(shí)數(shù)p=q=1”是“1∈A∩B”的充分不必要條件．

點(diǎn)評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用根與方程之間的公式，以及集合的基本運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．