Question

（2010•崇明縣二模）若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=

1

2-x

，以下命題：
①x＞0時(shí)，f(x)=

1

x-2

；
②f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增；
③f（x）的反函數(shù)f^-1（x）的定義域?yàn)?span id="uvbw1fd" class="MathJye">(-

1

2

，

1

2

)；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f（x-s）-t的圖象關(guān)于點(diǎn)(

s

2

，

t

2

)對(duì)稱(chēng)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①利用f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，求出x＞0時(shí)的解析式，再作判斷．
②在①的基礎(chǔ)上，判斷單調(diào)性．
③f（x）的反函數(shù)f^-1（x）的定義域?yàn)榧礊閒（x）的值域，轉(zhuǎn)化為求f（x）的值域
④根據(jù)圖象對(duì)稱(chēng)的定義，進(jìn)行推導(dǎo)論證，判斷正誤．

解答：解：①當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，f（-x）═

1

2-(-x)

=

1

2+x

，f（x）=-f（-x）=-

1

2+x

 ①錯(cuò)
②由①，f（x）在區(qū)間（0，+∞）y隨x的增大而增大，是增函數(shù)．②對(duì)．
③f（x）的反函數(shù)f^-1（x）的定義域即為f（x）的值域．由于f（x）≠0，0∉(-

1

2

，

1

2

)；③錯(cuò)．
④設(shè)p（x，y）是函數(shù)y=f（x-s）-t的圖象上任意一點(diǎn)，則有y=f（x-s）-t④′
p關(guān)于點(diǎn)(

s

2

，

t

2

)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)p′（s-x，t-y）由④′得不出f（s-t）=t-y，所以點(diǎn)p′不一定在函數(shù)y=f（x）的圖象上．④錯(cuò)．
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、反函數(shù)概念、圖象的對(duì)稱(chēng)性．考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算、論證能力．