Question

多向飛碟是奧運(yùn)會的競賽項目，它是由拋靶機(jī)把碟靶（射擊的目標(biāo)）在一定范圍內(nèi)從不同的方向飛出，每拋出一個碟靶，就允許運(yùn)動員射擊兩次，直到擊中為止．一運(yùn)動員在進(jìn)行訓(xùn)練時，每一次射擊命中碟靶的概率P與運(yùn)動員離碟靶的距離S（米）成反比，現(xiàn)有一碟靶拋出的距離S（米）與飛行時間t（秒）滿足S=15（t+1），（0≤t≤4）．假設(shè)運(yùn)動員在碟靶飛出后0.5秒進(jìn)行第一次射擊，且命中的概率為0.8，如果他發(fā)現(xiàn)沒有命中，則通過迅速調(diào)整，在第一次射擊后經(jīng)過0.5秒進(jìn)行第二次射擊．
理科：（1）設(shè)該運(yùn)動員命中碟靶的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列；（2）求Eξ和Dξ．
文科：求該運(yùn)動員命中碟靶的概率．

Answer 1

【理科】（1）設(shè)P=（常數(shù)k＞0），
則P=，…（2分）
當(dāng)t=0.5秒時，P₁=0.8，代入上式得k=18，
∴P==，
∴當(dāng)t=1秒時，P₂=0.6，…（4分）
因此 P=P₁+（1-P₁）×P₂=0.8+（1-0.8）×0.6=0.92．…（6分）
ξ可能取值為0，1，
由題意P（ξ=0）=0.2×0.4=0.08，
P（ξ=1）=0.8+0.2×0.6=0.92．…（9分）
那么ξ的分布列為

ξ	0	1
P	0.08	0.92

…（10分）
（2）Eξ=0×0.08+1×0.92=0.92，
Dξ=（0-0.92）²×0.08+（1-0.92）²×0.92=0.0736．…（12分）
【文科】設(shè)P=（常數(shù)k＞0），
則P=，…（3分）
當(dāng)t=0.5秒時，P₁=0.8，
代入上式得k=18，…（5分）
∴P==，
∴當(dāng)t=1秒時，P₂=0.6．…（9分）
因此 P=P₁+（1-P₁）×P₂=0.8+（1-0.8）×0.6=0.92．…（12分）
分析：【理科】（1）設(shè)P=（常數(shù)k＞0），則P=，當(dāng)t=0.5秒時，P₁=0.8，代入上式得k=18，P=，當(dāng)t=1秒時，P₂=0.6．故P=P₁+（1-P₁）×P₂=0.92．ξ可能取值為0，1，由此能求出該運(yùn)動員命中碟靶的次數(shù)ξ的分布列．
（2）由ξ的分布列能求出Eξ和Dξ．
【文科】設(shè)P=（常數(shù)k＞0），則P=，當(dāng)t=0.5秒時，P₁=0.8，代入上式得k=18，故P=，當(dāng)t=1秒時，P₂=0.6．由此能求出該運(yùn)動員命中碟靶的概率．
點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型分布列的求法和數(shù)學(xué)期望的計算，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合知識的靈活運(yùn)用．