Question

已知拋物線P：x²=2py （p＞0）．
（Ⅰ）若拋物線上點(diǎn)M（m，2）到焦點(diǎn)F的距離為3．
（�。┣髵佄锞�P的方程；
（ⅱ）設(shè)拋物線P的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為E，過(guò)E作拋物線P的切線，求此切線方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，連接AO，BO并延長(zhǎng)分別交拋物線的準(zhǔn)線于C，D兩點(diǎn)，求證：以CD為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)F．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（ⅰ）欲求拋物線方程，需求出p值，根據(jù)拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離與到準(zhǔn)線距離相等，以及拋物線上點(diǎn)M（m，2）到焦點(diǎn)F的距離為3，可解得 p，問(wèn)題得解．
（ⅱ）求出E點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出過(guò)E的拋物線P的切線方程，再根據(jù)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，△=0，即可求出k值，進(jìn)而求出切線方程．
（Ⅱ）設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，以及過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l方程，代入拋物線方程，求x₁x₂，x₁+x₂，再求C，D點(diǎn)坐標(biāo)，用含x₁，x₂的式子表示

FC

，

FD

坐標(biāo)，在證

FC

，

FD

共線即可．

解答：解：（Ⅰ）（�。┯蓲佄锞�定義可知，拋物線上點(diǎn)M（m，2）到焦點(diǎn)F的距離與到準(zhǔn)線距離相等，
即M（m，2）到y=-

p

2

的距離為3；
∴-

p

2

+2=3，解得p=2．
∴拋物線P的方程為x²=4y．                                       
（ⅱ）拋物線焦點(diǎn)F（0，1），拋物線準(zhǔn)線與y軸交點(diǎn)為E（0，-1），
顯然過(guò)點(diǎn)E的拋物線的切線斜率存在，設(shè)為k，切線方程為y=kx-1．
由

x2=4y y=kx-1

，消y得x²-4kx+4=0，
△=16k²-16=0，解得k=±1．                                    
∴切線方程為y=±x-1．                                          
（Ⅱ）直線l的斜率顯然存在，設(shè)l：y=kx+

p

2

，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2=2py y=kx+ p 2

消y得 x²-2pkx-p²=0．   且△＞0．
∴x₁+x₂=2pk，x₁•x₂=-p²；
∵A（x₁，y₁），∴直線OA：y=

y1

x1

x，
與y=-

p

2

聯(lián)立可得C(-

px1

2y1

，-

p

2

)，同理得D(-

px2

2y2

，-

p

2

)．          
∵焦點(diǎn)F(0，

p

2

)，
∴

FC

=(-

px1

2y1

，-p)，

FD

=(-

px2

2y2

，-p)，
∴

FC

•

FD

=(-

px1

2y1

，-p)•(-

px2

2y2

，-p)=

px1

2y1

px2

2y2

+p2=

p2x1x2

4y1y2

+p2=

p2x1x2

4 x12 2p x22 2p

+p2=

p4

x1x2

+p2=

p4

-p2

+p2=0
∴以CD為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)F．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線方程的求法，以及直線與拋物線的位置關(guān)系判斷，做題時(shí)要認(rèn)真分析，避免不必要的錯(cuò)誤．