Question

17．已知動點P在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面上運動，且PA=r（0＜r＜$\sqrt{3}$），記點P的軌跡長度為f（r）給出以下四個命題：
①f（1）=$\frac{3}{2}$π
②f（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{3}$π
③f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π
④函數(shù)f（r）在（0，1）上是增函數(shù)，f（r）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）上是減函數(shù)
其中為真命題的是①④（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 由題意畫出圖形并得出相應的解析式，畫出其圖象，經過討論即可得出答案．

解答 解：如圖所示：①當0＜r≤1時，f（r）=3×$\frac{π}{2}$×r=$\frac{3π}{2}$r，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3π}{4}$，
．此時，由一次函數(shù)的單調性可得：
0＜f（r）≤$\frac{3π}{2}$＜5，
②當1＜r≤$\sqrt{2}$時，在平面ABCD內，設以點A為圓心，r為半徑的圓弧與BC、CD分別交于點E、F，則
cos∠DAF=$\frac{1}{r}$，∠EAF=$\frac{π}{2}$-2∠DAF，
∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2$\sqrt{1-（\frac{1}{r}）^{2}}×\frac{1}{r}$=$\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{{r}^{2}}$，
cos∠EAG=$\frac{2{r}^{2}-（\sqrt{2}\sqrt{{r}^{2}-1}）^{2}}{2{r}^{2}}=\frac{1}{{r}^{2}}$，
∴f（r）=3rarccos$\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{{r}^{2}}$+3rarccos$\frac{1}{{r}^{2}}$；
③當$\sqrt{2}$＜r≤$\sqrt{3}$時，∵CM=$\sqrt{{r}^{2}-2}$，
∴${C}_{1}M={C}_{1}N=1-\sqrt{{r}^{2}-2}$，
∴cos∠MAN=$\frac{2{r}^{2}-[\sqrt{2}（1-\sqrt{{r}^{2}-2}）]^{2}}{2{r}^{2}}$=$\frac{1+2\sqrt{{r}^{2}-2}}{{r}^{2}}$，
∴f（r）=3rarccos$\frac{1+2\sqrt{{r}^{2}-2}}{{r}^{2}}$，
綜上，當0＜r≤1時，f（r）=$\frac{3π}{2}$r，
當1＜r≤$\sqrt{2}$時，f（r）=3rarccos$\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{{r}^{2}}$+3rarccos$\frac{1}{{r}^{2}}$；
當$\sqrt{2}$＜r≤$\sqrt{3}$時，f（r）=3rarccos$\frac{1+2\sqrt{{r}^{2}-2}}{{r}^{2}}$，
故只有①④正確．
故答案為：①④．

點評 熟練掌握數(shù)形結合、分類討論的思想方法、數(shù)形結合的思想方法是解題的關鍵．