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5．已知函數f（x）=x3-ax．
（1）求證：當1＜a＜4時，方程f（x）=0在（1，2）內有根；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上是單調函數，求a的取值范圍．

分析 （1）根據零點存在性定理直接判斷即可，即只需說明f（1）f（2）＜0；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上遞增，則其導函數f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立，然后分離參數a，求出函數的最值即可解決問題．

解答 解：（1）顯然函數f（x）在（1，2）上連續(xù)，而1＜a＜4，所以1-a＜0，4-a＞0．
所以f（1）f（2）=（1-a）（8-2a）=2（1-a）（4-a）＜0，
所以方程f（x）=0在（1，2）內有根．
（2）由題意f′（x）=3x2-a≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立，
易知y=3x2在[1，+∞）上遞增，所以ymin=3×12=3，
故所求a的范圍是（-∞，3]．

點評 本題考查了函數的零點判斷的方法以及已知函數的單調性求參數范圍的問題，主要是分離參數，轉化為函數的最值問題．

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

9．在數列{an}中，$\frac{1}{（2-1）{a}_{1}}$+$\frac{1}{（{2}^{2}-1）{a}_{2}}$…+$\frac{1}{（{2}^{n}-1）{a}_{n}}$=2n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，則數列{an}的前n項和Sn=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

10．某廠商調查甲、乙兩種不同型號電視機在10個賣場的銷售量（單位：臺），并根據這10個賣場的銷售情況，得到如圖所示的莖葉圖．為了鼓勵賣場，在同型號電視機的銷售中，該廠商將銷售量高于數據平均數的賣場命名為該型號電視機的“星級賣場”．
（Ⅰ）求在這10個賣場中，甲型號電視機的“星級賣場”的個數；
（Ⅱ）若在這10個賣場中，乙型號電視機銷售量的平均數為26.7，求a＞b的概率；
（Ⅲ）若a=1，記乙型號電視機銷售量的方差為s2，根據莖葉圖推斷b為何值時，s2達到最小值．（只需寫出結論）
（注：方差${s^2}=\frac{1}{n}[{（{x_1}-\overline x）^2}+{（{x_2}-\overline x）^2}+…+{（{x_n}-\overline x）^2}]$，其中$\overline x$為x1，x2，…，xn的平均數）

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2．若（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-2\overrightarrow{c}$）=0，則|$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$|的最小值為$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

14．在數列{an}中，a1=3，若函數y=3x-2的圖象經過點（an+1，an）
（1）求證：數列{an-1}為等比數列；
（2）求數列{an}的通項公式及前n項和Sn．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

10．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線x+y=1交于A、B兩點，且|AB|=2$\sqrt{2}$，又M為AB的中點，O為坐標原點，直線OM的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求該橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

17．已知動點P在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的表面上運動，且PA=r（0＜r＜$\sqrt{3}$），記點P的軌跡長度為f（r）給出以下四個命題：
①f（1）=$\frac{3}{2}$π
②f（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{3}$π
③f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π
④函數f（r）在（0，1）上是增函數，f（r）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）上是減函數
其中為真命題的是①④（寫出所有真命題的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

14．求經過點A（4，-5）且與直線l：x-2y+4=0相切于點B（-2，1）的圓的方程．

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15．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=$\frac{π}{3}$．若O為AD的中點，且CD⊥A1O
（Ⅰ）求證：A1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）線段BC上是否存在一點P，使得二面角D-A1A-P為$\frac{π}{6}$？若存在，求出BP的長；不存在，說明理由．

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