Question

已知點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），動點A到點F₁的距離是2

3

，線段AF₂的中垂線l交AF₁于點P．
（1）當點A變化時，求動點P的軌跡G的方程；
（2）過點F₁、F₂分別作互相垂直的兩條直線分別與軌跡G交于點D、E和點M、N，試求四邊形DMEN的面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，|PA|+|PF₁|=2

3

，及|PA|=|PF₂|，從而有|PF₁|+|PF₂|=2

3

，由橢圓的定義可知動點P的軌跡G的方程
（2）分別考慮求解：當直線DE與x軸垂直時，四邊形DMEN的面積為

|DE|•|MN|

2

=4，；當MN與x軸垂直時，也有四邊形DMEN的面積為

|DE|•|MN|

2

=4；當直線DE，MN與x軸均不垂直時，設直線DE的方程為y=k（x+1）（k≠0），代入橢圓方程，消去y，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．
設D點的坐標為（x₁，y₁），E點的坐標為（x₂，y₂），則根據(jù)|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 • k2+1

3k2+2

，
可求|DE|=

k2+1

|x₁-x₂|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

．MN=

4 3 [(- 1 k )2+1]

2+3(- 1 k )2

=

4 3 (1+k2)

2k2+3

，進而有四邊形DMEN的面積S=

1

2

DE•MN=

1

2

•

4 3 (1+k2)

2+3k2

•

4 3 (1+ 1 k2 )

2+ 3 k2

=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式可求面積的最值

解答：解：（1）如圖，|AF₁|=2

3

，
∴|PA|+|PF₁|=2

3

，
又∵|PA|=|PF₂|，
∴|PF₁|+|PF₂|=2

3

，
由橢圓的定義可知動點P的軌跡G的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）當直線DE與x軸垂直時，|DE|=

4

3

，
此時|MN|=2

3

，四邊形DMEN的面積為

|DE|•|MN|

2

=4，同理，當MN與x軸垂直時，也有四邊形DMEN的面積為

|DE|•|MN|

2

=4．
當直線DE，MN與x軸均不垂直時，設直線DE的方程為
y=k（x+1）（k≠0），代入橢圓方程，消去y，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．
設D點的坐標為（x₁，y₁），E點的坐標為（x₂，y₂），
則∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 • k2+1

3k2+2

，
∴|DE|=

k2+1

|x₁-x₂|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

．
同理，MN=

4 3 [(- 1 k )2+1]

2+3(- 1 k )2

=

4 3 (1+k2)

2k2+3

∴四邊形DMEN的面積S=

1

2

DE•MN=

1

2

•

4 3 (1+k2)

2+3k2

•

4 3 (1+ 1 k2 )

2+ 3 k2

=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

令u=k2+

1

k2

，得s=

24(2+u)

13+6u

=4-

4

13+6u

∵u=k2+

1

k2

≥2∴當k=±1時，u=2，S=

96

25

且S是以u為自變量的增函數(shù)，所以

96

25

≤S＜4
綜上可知，四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為

96

25

點評：本題主要考查了曲線的軌跡方程的求解及直線與曲線的位置關(guān)系的求解，求解圓錐曲線的方程時的關(guān)鍵是靈活的應用橢圓的定義，而 處理直線與曲線的位置時的關(guān)鍵是要設直線方程，容易漏洞對斜率的存在的討論