Question

（2012•茂名一模）如圖，設(shè)P是圓x²+y²=2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影．M為線段PD上一點(diǎn)，且|MD|=

2

2

|PD|．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）已知點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），設(shè)點(diǎn)A（1，m）（m＞0）是軌跡C上的一點(diǎn)，求∠F₁AF₂的平分線l所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意P是圓x²+y²=25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的攝影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|=

2

2

|PD|，利用相關(guān)點(diǎn)法即可求軌跡；
（2）求出A的坐標(biāo)，及∠F₁AF₂的平分線l所在直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線的斜率，進(jìn)而可得直線的方程．

解答：解：（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（x_p，y_p）
由已知|MD|=

2

2

|PD|得：x_p=x，y_p=

2

y 
∵P是圓x²+y²=2上的動(dòng)點(diǎn)，
∴x²+2y²=2；
（2）∵點(diǎn)A（1，m）（m＞0）是軌跡C上的一點(diǎn)，∴1+2m²=2，∴m=

2

2

設(shè)∠F₁AF₂的平分線l所在直線交x軸于（a，0），則利用角平分線的性質(zhì)可得

3 2 2

2 2

=

a+1

1-a

，∴a=

1

2

∴∠F₁AF₂的平分線l所在直線的斜率為

2

∴∠F₁AF₂的平分線l所在直線的方程為y-

2

2

=

2

（x-1），即2x-

2

y-1=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查求直線方程，屬于中檔題．