Question

【題目】設(shè)是由（）個(gè)不同的正整數(shù)組成的集合，其中每個(gè)元素的質(zhì)因子不大于100，且中不存在四個(gè)不同的元素，使得這四個(gè)數(shù)之積是一個(gè)4次方數(shù)，求的最大值．

Answer 1

【答案】

【解析】

不大于100的質(zhì)數(shù)有

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，

43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．

記為（）．

則中的數(shù)均有的形式，其中，（）．

而按奇偶性來(lái)分，共有種類(lèi)型，于是，中可取出

對(duì)數(shù)組和，

二者為同一類(lèi)型，即

（，）．

進(jìn)而得到組．

若，則可從上述各組中取出一對(duì)數(shù)組和，二者為同一類(lèi)型，

即（，）．

其所對(duì)應(yīng)的中的4個(gè)元素之積為，是一個(gè)四次方數(shù)．

故．

所以，．

下面證明：．

對(duì)每種類(lèi)型中的分量，若為奇數(shù)，取為；若為偶數(shù)，取為（）．

從而，每種類(lèi)型的數(shù)組各有3個(gè)，共有個(gè)數(shù)組．

下面用反證法證明：上述數(shù)組中不存在4個(gè)數(shù)組，使得所有的分量之和均為4的倍數(shù)．

假設(shè)存在4個(gè)數(shù)組，，，，

使得每個(gè)分量、、、或

且（）．

易知或．

故

．

因此，上述4個(gè)數(shù)組為同一類(lèi)型．但每種類(lèi)型只有3個(gè)數(shù)組，矛盾．

故．