Question

設雙曲線

y2

a2

-

x2

3

=1的兩個焦點分別為F₁、F₂，離心率為2．
（Ⅰ）求此雙曲線的漸近線l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）若A、B分別為l₁、l₂上的點，且2|AB|=5|F₁F₂|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；
（Ⅲ）過點N（1，0）能否作出直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點，且

OP

•

OQ

=0．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）運用離心率公式和a，b，c的關系，解方程可得a=1，進而得到雙曲線方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用代入法，由中點坐標公式和兩點的距離公式，即可得到中點的軌跡方程和軌跡；
（Ⅲ）假設存在滿足條件的直線l．設l：y=k（x-1），l與雙曲線交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理，結合向量的數(shù)量積的坐標公式，即可判斷．

解答： 解：（Ⅰ）∵e=2，
∴c²=4a²
∵c²=a²+3，
∴a=1，c=2，
∴雙曲線方程為y2-

x2

3

=1，漸近線方程為y=±

3

3

x；

（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），
∵2|AB|=5|F₁F₂|
∴|AB|=

5

2

|F1F2|=

5

2

×2c=10，
∴

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=10，
∵y1=

3

3

x1，y2=-

3

3

x2，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂
∴y1+y2=

3

3

(x1-x2)，y1-y2=

3

3

(x1+x2)，
∴

[ 3 (y1+y2)]2+[ 3 3 (x1+x2)]2

=10，
∴3(2y)2+

1

3

(2x)2=100，即

x2

75

+

3y2

25

=1，
則M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為10

3

，短軸長為

10 3

3

的橢圓．

（Ⅲ）假設存在滿足條件的直線l．
設l：y=k（x-1），l與雙曲線交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
∵

OP

•

OQ

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=0，
∴x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]=0，
∵

y=k(x-1) y2- x2 3 =1

⇒(3k2-1)x2-6k2x+3k2-3=0，
∴x1+x2=

6k2

3k2-1

，x1x2=

3k2-3

3k2-1

，
∴k²+3=0
∴k不存在，即不存在滿足條件的直線l．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查離心率和漸近線方程的求法，同時考查中點坐標公式和兩點的距離公式以及聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，運用韋達定理，屬于中檔題．