Question

將10個(gè)白小球中的3個(gè)染成紅色，3個(gè)染成藍(lán)色，試解決下列問題：
（1）求取出3個(gè)小球中紅球個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）求取出3個(gè)小球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知紅球的個(gè)數(shù)是3個(gè)，得到取出3個(gè)小球中紅球個(gè)數(shù)ξ的可能值，從10個(gè)球中任取3個(gè)，實(shí)驗(yàn)包含的所有事件數(shù)C₁₀³，而其中恰有K個(gè)紅球的結(jié)果數(shù)是C₃^KC₇^3-K，得到其中恰有k個(gè)紅球的概率，寫出分布列和期望．
（2）由題意知取出3個(gè)小球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)，包括恰好1個(gè)紅球和兩個(gè)藍(lán)球；恰好2個(gè)紅球；恰好3個(gè)紅球，分別作出三個(gè)事件的概率，這三個(gè)事件是互斥的，得到結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知紅球的個(gè)數(shù)是3個(gè)，
∴取出3個(gè)小球中紅球個(gè)數(shù)ξ的可能值是0、1、2、3，
∵從10個(gè)球中任取3個(gè)，實(shí)驗(yàn)包含的所有事件數(shù)C₁₀³，
而其中恰有K個(gè)紅球的結(jié)果數(shù)是C₃^KC₇^3-K，
∴其中恰有k個(gè)紅球的概率為
P(X=ξ)=

C k 3 C 3-k 7

C 3 10

，(k=0，1，2，3)
∴隨機(jī)變量X的分布列是

∴X的數(shù)學(xué)期望：EX=0×

7

24

+1×

21

40

+2×

7

40

+3×

1

120

=

9

10

（2）設(shè)“取出的3個(gè)球中紅球數(shù)多于白球數(shù)”為事件A，
“恰好1個(gè)紅球和兩個(gè)藍(lán)球”為事件A₁，“恰好2個(gè)紅球”為事件A₂，
“恰好3個(gè)紅球”為事件A₃；由題意知：A=A₁∪A₂∪A₃
又P(A1)=

C 1 3 C 2 3

C 3 10

=

3

40

，P(A2)=P(X=2)=

7

40

，P(A3)=P(X=3)=

1

120

∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

3

40

+

7

40

+

1

120

=

31

120

．

點(diǎn)評(píng)：一般分布列的求法分為三步：
（1）首先確定隨機(jī)變量 的取值有哪些；
（2）求出每種取值下的隨機(jī)事件的概率；
（3）列表寫出．