已知ABCD－A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，E、F分別是棱AA1和CC1的中點(diǎn)，G是A1C1的中點(diǎn)，求

(1) 點(diǎn)G到平面BFD1E的距離；

(2) 四棱錐A1－BFD1E的體積．

 

答案：
解析：

．

∴ 四邊形BFD1E是菱形．連結(jié)EF、BD1，

則A1C1∥EF．

設(shè)H是EF的中點(diǎn)，連結(jié)GH、GD1，則EF⊥GH，EF⊥HD1，

∴ EF⊥平面GHD1，EF平面BFD1E，

∴ 平面BFD1E⊥平面GHD1，作GK⊥HD1于K，

則GK⊥平面BFD1E，GK就是點(diǎn)G到平面BFD1E的距離，

∵ 正方體對(duì)角面A1ACC1⊥底面A1B1C1D1，

∴ ∠HGD1=90°．

在Rt△HGD1中，，，，

∴ ，

點(diǎn)G到平面BFD1E的距離是．

(2) 解法1：∵ A1C1∥EF，

∴ A1C1∥平面BFD1E，G∈A1C1，

∴ 點(diǎn)G到平面BFD1E的距離就是四棱錐A1－BFD1E的高．

∴

解法2：∵ ，

∴ 四棱錐A1－BFD1E底面是菱形，連結(jié)EF，則△EFB≌△EFD1．

∵ 三棱錐A1－EFB與三棱錐A1－EFD1等底同高，

∴ ，

∴ ，

又，

∴ ．

∵ CC1∥平面AA1B1B，

∴ 三棱錐F－EA1B的高就是CC1到平面AA1B1B的距離，即棱長(zhǎng)a．

又△EA1B的邊EA1的高為a

∴ ．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，
（1）用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的體積；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)AB=2，側(cè)棱BB1的長(zhǎng)為4，E為C1C上的點(diǎn)，且CE=1，
（1）求證：A1C⊥平面BDE；
（2）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)F為A1D的中點(diǎn)．
（1）求證：A1B⊥平面AB1D；
（2）求證：平面A1B1CD⊥平面AFC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知ABCD-A1B1C1D1為正方體，①(
A1A
+
A1D1
+
A1B1
)2=3(
A1B1
)2；②
A1C
•(
A1B1
-
A1A
)=0；③向量
AD1
與向量
A1B
的夾角是60°；④正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|
AB
•
AA1
•
AD
|．其中正確的命題是
①②
①②
（寫(xiě)出所有正確命題編號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)AB=2，側(cè)棱BB1的長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．

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