Question

如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長(zhǎng)AB=2，側(cè)棱BB₁的長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)B作B₁C的垂線交側(cè)棱CC₁于點(diǎn)E，交B₁C于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A₁B與平面BDE所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，可得D、A、B、C、A₁、B₁、
C₁、D₁各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量

A1C

、

BD

的坐標(biāo)．設(shè)E（0，2，t），由

BE

•

B1C

=0解出t=1，得到

BE

的坐標(biāo)，由此得到

A1C

•

BE

=0且

A1C

•

DB

=0，從而得到

A1C

⊥

DB

且

A1C

⊥

BE

，結(jié)合線面垂直判定定理可得A₁C⊥平面BED；
（II）根據(jù)

A1C

是平面BDE的一個(gè)法向量，由空間向量的夾角公式算出

A1C

、

A1B

夾角的余弦，結(jié)合空間直線與平面所成角的定義，可得這個(gè)余弦值即為A₁B與平面BDE所成的角的正弦值．

解答：解：（ I）如圖，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示，可得
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）…（2分）
設(shè)E（0，2，t），則

BE

=(-2，0，t)，

B1C

=(-2，0，-4)．
∵BE⊥B₁C，
∴可得

BE

•

B1C

=4+0-4t=0．解之得t=1，
∴E（0，2，1），且

BE

=(-2，0，1)．
又∵

A1C

=(-2，2，-4)，

DB

=(2，2，0)，…（4分）
∴

A1C

•

BE

=4+0-4=0
且

A1C

•

DB

=-4+4+0=0…（6分）
∴

A1C

⊥

DB

且

A1C

⊥

BE

．
∵BD、BE是平面BDE內(nèi)的相交直線．
∴

A1C

⊥平面BDE…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐標(biāo)系，得

A1C

=(-2，2，-4)是平面BDE的一個(gè)法向量，
又∵

A1B

=(0，2，-4)，
∴cos＜

A1C

，

A1B

＞=

A1C • A1B

| A1C || A1B |

=

30

6

，
因此，可得A₁B與平面BDE所成角的正弦值為

30

6

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出正四棱柱，求證線面垂直并求直線與平面所成角的正弦值，著重考查了利用空間向量研究線面垂直、用空間向量的夾角公式求直線與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．