Question

【題目】求所有的正整數(shù)，使得是一個(gè)完全平方數(shù)，且除了2或3以外，沒(méi)有其他的質(zhì)因數(shù).

Answer 1

【答案】符合條件的n值有6個(gè)，分別為64,108,288,864,1728,10368.

【解析】

設(shè)，則

.

依題意，可設(shè)

其中，均為非負(fù)整數(shù).于是，

.

如果，則，這是不可能的.所以，中至少有一個(gè)大于0.于是，x和均為偶數(shù).從而，均為正整數(shù).

若，則.

顯然，只可能（否則左右兩邊被4除的余數(shù)不相同），此時(shí)，.

顯然，只能是，，此時(shí)，

，.

若，則是4的倍數(shù).從而，也是4的倍數(shù)，故.此時(shí)

.①

顯然，、中至少有一個(gè)應(yīng)為0（否則式①左右兩邊奇偶性不相同）.

（1）當(dāng)，即時(shí)，

.②

此時(shí)，（否則式②左右兩邊奇偶性不相同），故.

若，則式②左邊是9的倍數(shù)，而右邊為3，矛盾.故只能.從而，式②即，它只有兩組解

和

即和

此時(shí)，對(duì)應(yīng)的x值分別為24和96，相應(yīng)的n值分別為864和10368.

（2）當(dāng)，即時(shí)，

.③

此時(shí)，（否則式③左右兩邊奇偶性不相同），故.

若，則式③左邊是9的倍數(shù)，而右邊是3，矛盾.故.

若，則，只能，此時(shí)，，，.

若，則，它只有兩組解

和

即和.

此時(shí)，對(duì)應(yīng)的x值分別為12和36，相應(yīng)的n值分別為288和1728.

因此，符合條件的n值有6個(gè)，分別為64,108,288,864,1728,10368.