Question

某地區(qū)有三座工廠分別位于△ABC的三個頂點，已知、．為了處理三個工廠的污水，現(xiàn)要在△ABC區(qū)域內（不包括邊界）且與B、C等距的一點O處建立一個污水處理廠，并鋪設排污管道OA、OB、OC．
（1）設OA=xkm，若要使排污管道總長不超過11km，求x的取值范圍；
（2）設∠OBC=θ，當排污管道總長取最小值時，求θ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設BC中點為D，由AB=AC及OB=OC知，O點在線段AD上，設OA=xkm，求出AD，若要使排污管道總長不超過11km，即OA+OB+OB≤11，解不等式即可求x的取值范圍；
（2）設∠OBC=θ，求出排污管道總長的表達式，求出取最小值時的θ值即可．
解答：解：（1）設BC中點為D，由AB=AC及OB=OC知，O點在線段AD上
km
設AO=x，則0＜x＜3…（2分）
由OA+OB+OB≤11知…（3分）
即
平方化簡有：3x²-2x-1≤0…（5分）又  0＜x＜3
故0＜x≤1…（6分）
（2）設∠OBC=θ，則、
∴
則…（8分）
令得
故k²≥3，又k＞0，故…（10分）
則
此時有：，即得
又，故
故…（12分）
（若由（1）知得平方化為x的二次方程△≥0得L_min亦可．）
點評：本題是中檔題，考查函數的實際應用，三角函數的化簡求值，兩角和的正弦函數的應用，考查計算能力．