Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-e，e]上的奇函數(shù)，當x∈（0，e]時f（x）=ax+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得當x∈[-e，0）時，函數(shù)f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）要求f（x）解析式，需求出x∈[-e，0]上的解析式，所以設x∈[-e，0），-x∈（0，e]，根據(jù)f（x）是奇函數(shù)及在（0，e]上的解析式，便可求出f（-x）=-ax+2ln（-x）=-f（x），這樣即可求出f（x）在[-e，0）上的解析式，又f（0）=0，所以可以寫出f（x）的解析式；
（Ⅱ）對x∈[-e，0）上的解析式求導，f′（x）=0時，x=

2

a

，所以討論

2

a

和區(qū)間[-e，0）的關(guān)系：

2

a

≤-e，即a≤-

2

e

時，判斷f′（x）在[-e，0）上的符號大于0，從而判斷出函數(shù)f（x）在[-e，0）上的單調(diào)遞增，f（x）的最小值為f（-e）=-ae-2=4，所以a=-

6

a

＜-

2

e

，即這種情況不存在；-e＜

2

a

＜0，即a＜-

2

e

，容易判斷出x=

2

e

時f（x）取最小值f（

2

e

）=2-2ln(-

2

a

)，求出a=-2e＜-

2

e

，即存在a=-2e使得當x∈[-e，0）時，函數(shù)f（x）的最小值是4．

解答： 解：（Ⅰ）設x∈[-e，0），則-x∈（0，e]；
∴f（-x）=-ax+2ln（-x）=-f（x）；
∴f（x）=ax-2ln（-x）；
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0；
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f(x)=

ax-2ln(-x) x∈[-e，0) 0 x=0 ax+2lnx x∈(0，e]

；
（Ⅱ）假設存在這樣的a，使得當x∈[-e，0）時，f（x）=ax-2ln（-x）有最小值4；
∵f′（x）=a-

2

x

=

ax-2

x

，x∈[-e，0）；
①當

2

a

≤-e，即-

2

e

≤a＜0，則ax-2≤0，x＜0，∴f′（x）≥0；
∴f（x）是[-e，0）上的增函數(shù)，∴f（x）_min=f（-e）=-ae-2=4，解得a=-

6

e

＜-

2

e

，∴這種情況不存在；
②當-e＜

2

a

＜0，即a＜-

2

e

，則x∈[-e，

2

a

）時，ax-2＞0，x＜0，∴f′（x）＜0，x∈(

2

a

，0)時，ax-2＜0，x＜0，∴f′（x）＞0；
∴x=

2

a

時，f(x)min=f(

2

a

)=2-2ln(-

2

a

)=4，解得 a=-2e；
綜上得，存在實數(shù)a=-2e，使得當x∈[-e，0）時，f（x）的最小值是4．

點評：考查求函數(shù)解析式的方法，奇函數(shù)的定義，函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的概念及求法．