Question

已知函數(shù)，．
（Ⅰ）解方程：；
（Ⅱ）設，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值的表達式；
（Ⅲ）若，，求 的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）．

解析試題分析：（Ⅰ），
或（舍去），
所以．
（Ⅱ），，
令，則，
①當時，，
②當時，，
若，則，
若，當，即時，，
當，即時，，
當，即時，，
綜上，．
（Ⅲ）由題意知：，
所以，
其中，所以，
由知的最大值是，又單調(diào)遞增，
所以．
考點：本題主要考查分段函數(shù)的概念，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，均值定理的應用。
點評：中檔題，本題綜合考查分段函數(shù)的概念，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，均值定理的應用。利用換元思想，將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題，通過變換函數(shù)表達式，創(chuàng)建應用均值定理的條件，體現(xiàn)應用數(shù)學知識的靈活性。