Question

（12分）根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為；

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）寫出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出數(shù)列{y_n}的一個通項(xiàng)公式y_n，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）求

                 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  

（Ⅱ）=3ⁿ－1（） ，證明略

（Ⅲ）略

【解析】解：（Ⅰ）由框圖，知數(shù)列  ………2分

∴                ………4分

（Ⅱ）由框圖，知數(shù)列{y_n}中，y_n+1=3y_n+2           ………5分

∴                                     ………6分

∴     ∴數(shù)列{y_n+1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。

∴+1=3·3^n－1=3ⁿ

∴=3ⁿ－1（）                             ………8分

（Ⅲ）z_n=

=1×（3－1）+3×（3²－1）+…+（2n－1）（3ⁿ－1）

=1×3+3×3²+…+（2n－1）·3ⁿ－[1+3+…+（2n－1）]            ………9分

記S_n=1×3+3×3²+…+（2n－1）·3ⁿ，①

則3S_n=1×3²+3×3³+…+（2n－1）×3ⁿ⁺¹  ②

①－②，得－2S_n=3+2·3²+2·3³+…+2·3ⁿ－（2n－1）·3ⁿ⁺¹

=2（3+3²+…+3ⁿ）－3－（2n－1）·3ⁿ⁺¹

=2×=