已知橢圓C：（a>b>0）的長軸長為4。
（1）若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y=x+2相切，求橢圓C的焦點坐標；
（2）若點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M，N兩點，記直線PM，PN的斜率分別為kPM、kPN，當kPM·kPN=-時，求橢圓的方程。
解：（1）由得
又2a=4，
∴a=2，a2=4，b2=2，c2=a2-b2=2，
∴兩個焦點坐標為（，0），（-，0） 。
（2）由于過原點的直線l與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱，不妨設：M（x0，y0），N（-x0，-y0），P（x，y），
由于M，N，P在橢圓上，則它們滿足橢圓方程，即有
兩式相減得：
由題意可知直線PM、PN的斜率存在
則

則
由a=2得b=1，
故所求橢圓的方程為。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江西省高三第一次統(tǒng)考理科數(shù)學 題型：解答題

已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)，直線y=x+與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑

的圓相切，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，△F1PF2的重心為G，內心為I，且IG∥F1F2。⑴

求橢圓C的方程。⑵若直線L：y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點A，B且線段AB的垂直平分線過定點

C(，0)求實數(shù)k的取值范圍。

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江西省高三第七次月考理科數(shù)學 題型：解答題

已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)，直線y=x+與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，△F1PF2的重心為G，內心為I，且IG∥F1F2。⑴求橢圓C的方程。⑵若直線L：y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點A，B且線段AB的垂直平分線過定點C(，0)求實數(shù)k的取值范圍。

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：湖北省模擬題 題型：解答題

已知橢圓C ：（a＞b＞0），直線y=x+與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F(xiàn)1、F2為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，△F1PF2的重心為G，內心為I，且IG∥F1F2。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線L：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同兩點A，B且線段AB的垂直平分線過定點C（，0），求實數(shù)k的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年安徽省高考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+（a＞b＞0）的焦距為4，且過點P（，）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設Q（x，y）（xy≠0）為橢圓C上一點，過點Q作x軸的垂線，垂足為E．取點A（0，2），連接AE，過點A作AE的垂線交x軸于點D．點G是點D關于y軸的對稱點，作直線QG，問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年江蘇省蘇州大學高考數(shù)學考前指導試卷（二）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：（a＞b＞0），直線l過點A（a，0）和
B（0，b）．
（1）以AB為直徑作圓M，連接MO并延長，與橢圓C的第三象限部分交于N，若直線NB是圓M的切線，求橢圓的離心率；
（2）已知三點D（4，0），E（0，3），G（4，3），若圓M與△DEG恰有一個公共點，求橢圓方程．

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