Question

已知橢圓的中心在原點，焦點F₁，F₂在x軸上，且橢圓的長軸與短軸長之比為3：2．已知橢圓上一動點P，滿足．
（1）求橢圓的方程；
（2）若，求△PF₁F₂的面積；
（3）過點P（1，1）的直線與橢圓交于C、D兩點，且滿足，求直線CD的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的定義及已知條件，求出a、b 的值，依據條件寫出標準方程．
（2）由題意知，△PF₁F₂為直角三角形，由勾股定理和橢圓的第一定義建立方程組，求出直角三角形兩直角邊的積，
從而求出△PF₁F₂的面積．
（3）點斜式設出直線CD的方程代入橢圓的方程，轉化為關于x的一元二次方程，由知，點P為CD的中點，
故方程的兩根之和等于2，求出斜率，即得直線CD的方程．
解答：解：（1）由橢圓的定義知，2a=6，2a：2b=3：2，b=2，故所求的橢圓方程為 ；
（2）⇒|PF₁||PF₂|=8，，
所以，所求面積為4；
（3）橢圓方程為 ，設弦CD的斜率為k，
則CD：y=k（x-1）+1=kx+1-k，
代入橢圓方程，得4x²+9（kx+1-k）²-36=0，
即（4+9k²）x²+18k（1-k）x+9（1-k）²-36=0，由知，點P為CD的中點，
故方程的兩根之和等于2，由，解得，此時△＞0，
故所求直線CD的方程為4x+9y-13=0．
點評：本題考查橢圓的定義和標準方程的求法，直線和圓錐曲線的位置關系、一元二次方程根與系數的關系．