Question

【題目】對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則x0稱(chēng)為f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”．

（1）設(shè)函數(shù)，求的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)定義在上，證明：若存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，則也存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）的不動(dòng)點(diǎn)為-1和2；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)x為不動(dòng)點(diǎn)，則有，得，解方程即可．

（2）證法一：設(shè)為不動(dòng)點(diǎn)，則，否則設(shè)，則也為不動(dòng)點(diǎn)，與已知存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)矛盾．由此能證明若存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，則也存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)．

證法二：設(shè)a是的唯一不動(dòng)點(diǎn)，．設(shè)，則，由唯一性，得到，從而a是的不動(dòng)點(diǎn)．如果f有其它的不動(dòng)點(diǎn)c，則c也是的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性得，由此能證明若存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，則也存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)．

解：（1）由函數(shù)，得

解得或，

∴的不動(dòng)點(diǎn)為-1和2．

（2）由得：

由已知，此方程有相異二實(shí)根，恒成立，即

即對(duì)任意恒成立．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是

證明：（3）證法一：設(shè)函數(shù)定義在上，存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，

首先若為不動(dòng)點(diǎn)，則

否則設(shè)，則也為不動(dòng)點(diǎn)，

即不動(dòng)點(diǎn)不唯一，與已知存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)矛盾．

∴有不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，的不動(dòng)點(diǎn)也是的不動(dòng)點(diǎn)，

∴若存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，則也存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)．

證法二：設(shè)a是的唯一不動(dòng)點(diǎn)，．

設(shè)，則

∴b也是的不動(dòng)點(diǎn)．

由唯一性，得到，∴，從而a是的不動(dòng)點(diǎn)．

如果f有其它的不動(dòng)點(diǎn)c，則c也是的不動(dòng)點(diǎn)，

由唯一性得，∴a是的唯一不動(dòng)點(diǎn)．

故若存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，則也存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)．