Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，PB是圓O的切線，過A點作AE∥OP交圓O于E點，PA交圓O于點F，連接PE．

（1）求證：PE是圓O的切線；
（2）設AO=3，PB=4，求PF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OE，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∵AE∥OP，

∴∠OAE=∠BOP，∠OEA=∠EOP，

∴∠BOP=∠EOP，又OB=OE，OP=OP，

∴△BOP≌△EOP，

∴∠OEP=∠OBP，

∵PB是圓O的切線，∴∠OBP=90°，

∴∠OEP=90°，

∴PE是圓O的切線．

（2）解：由（1）知△ABP 是直角三角形，

∵AB=2AO=6，PB=4，

∴PA= =2 ，

∵PB是圓O的切線，

∴PB2=PFPA，

∴PF= = ．

【解析】（1）連接OE，證明△BOP≌△EOP，可得∠OEP=∠OBP，根據PB是圓O的切線，證明PE是圓O的切線；（2）利用切割線定理求PF的長．