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如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2．

(Ⅰ)若D為AA1中點，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D；

(Ⅱ)在AA1上是否存在一點D，使得二面角B1－CD－C1的大小為60°．

答案：
解析：

　　解法一：(Ⅰ)證明：∵

　　∴

　　又由直三棱柱性質知　　1分

　　∴平面．

　　∴　　2分

　　由，為中點，可知，

　　∴即　　4分

　　又　∴平面

　　又平面

　　故平面平面　　6分

　　(Ⅱ)解：當時二面角的大小為60°　　7分

　　假設在上存在一點滿足題意，

　　由(Ⅰ)可知平面．如圖，在平面內過作，交或延長線或于，連，則

　　所以為二面角的平面角　　8分

　　∴

　　由知，　　10分

　　設，則

　　∵的面積為1　∴

　　解得，即

　　∴在上存在一點滿足題意　　12分

　　解法二：

　　(Ⅰ)如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系．

　　則．

　　即　　2分

　　由得

　　由得　　4分

　　又

　　∴平面　又平面

　　∴平面平面　　6分

　　(Ⅱ)當時二面角的大小為60°　　7分

　　設，則點坐標為，

　　設平面的法向量為

　　則由令

　　得　　8分

　　又∵為平面的法向量

　　則由　　10分

　　解得，故.

　　∴在上存在一點滿足題意　　12分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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科目：高中數學 來源：2011年四川省招生統一考試理科數學 題型：解答題

 

 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

 

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科目：高中數學 來源：2011年高考試題數學理（四川卷）解析版 題型：解答題

 (本小題共l2分)

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

 

 

 

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科目：高中數學 來源：四川省高考真題 題型：解答題

如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中，∠ BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA。
（I）求證：CD=C1D；
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求點C到平面B1DP的距離

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科目：高中數學 來源： 題型：

    如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離．

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