已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a∈N*），若不等式f（x）＜2x的解集為（1，4），且方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
分析：（1）利用“3個(gè)二次”的關(guān)系即可得出；
（2）不等式恒成立問題，通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為可以利用基本不等式求函數(shù)的最值．
解答：解：（1）∵不等式f（x）＜2x的解集為（1，4），
∴f（1）-2=0，f（4）-8=0，且a＞0．
又方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即ax2+（b-1）x+c=0的△=（b-1）2-4ac=0．
聯(lián)立
a+b+c-2=0
16a+4b+c-8=0
(b-1)2-4ac=0
a＞0
，解得
a=1
b=-3
c=4
．
∴f（x）=x2-3x+4．
（2）不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立?m＜
f(x)
x
=x+
4
x
-3在x∈（1，+∞）上恒成立；
令g（x）=x+
4
x
-3(x＞1)，則g(x)≥2
x•
4
x
-3=4-3=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號．
∴m＜1．
點(diǎn)評：解本題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次不等式的解集得到對應(yīng)方程的根，對于不等式恒成立問題，通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為可以利用基本不等式求函數(shù)的最值得到．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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