Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線過點，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知曲線與曲線交于，兩點，且，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）..（2）2

【解析】

（1）曲線參數(shù)方程消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，代入即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及韋達定理即可求得實數(shù)的值.

（1）曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，），

曲線的普通方程為.

曲線的極坐標(biāo)方程為，

，

，

即曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（2）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入曲線的直角坐標(biāo)方程得：.

，即，

設(shè)，兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，

根據(jù)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知：

，

解得.