如圖，已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D、E、F分別為邊 BC、CA及AB中點(diǎn)．

（1）求證：++=0是O為△ABC的重心的充要條件．

（2）求證：△ABC與△DEF重心重合．??

??證明：（1）若++=0，則+=-.

??以O(shè)B、OC為鄰邊作*OBPC，則+=，且OP平分BC.

??∴-=，即與反向.即A、O、P共線.

??∴O在BC邊中線上.

??同理，O在AC、AB邊中線上，

??∴O為△ABC重心.

??反之，若O是△ABC的重心.設(shè)D為BC邊上中點(diǎn)，則｜｜=2｜｜，??∴||=-2||.又延長(zhǎng)OD到P，使｜｜=｜｜，則OBPC為平行四邊形.

??∴+==2=-.

??即++=0.綜上所述，命題成立.

??（2）若O是△ABC的重心，則=-，=-，=-12

??∴++=-（++）.

??由（1）知，++=0.從而O為△DEF的重心.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知⊙O與CA、CB相切于點(diǎn)A、B，OA=OB=2
3
cm，AB=6 cm，則∠ACB的度數(shù)為
 
．精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知O為△ABC的外心，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且滿足
CO
•
AB
=
BO
•
CA
．
（Ⅰ）證明：2a2=b2+c2； 
（Ⅱ）求
tanA
tanB
+
tanA
tanC
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•海淀區(qū)二模）如圖，已知⊙O的弦AB交半徑OC于點(diǎn)D，若AD=3，BD=2，且D為OC的中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知O為△ABC的外心，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且滿足
CO
•
AB
=
BO
•
CA
．
（1）推導(dǎo)出三邊a，b，c之間的關(guān)系式；
（2）求
tanA
tanB
+
tanA
tanC
的值．

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