【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點
處的切線方程;
(Ⅱ)求證:“”是“函數(shù)
有且只有一個零點” 的充分必要條件.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)切線的幾何意義得到切線的斜率,
,所以切線方程為
;(2)先證充分性再證必要性,含參討論,函數(shù)圖像和x軸的交點情況。
解析:
(Ⅰ)依題意,
所以切線的斜率
又因為,所以切線方程為
.
(Ⅱ)先證不必要性.
當時,
,令
,解得
.
此時, 有且只有一個零點,故“
有且只有一個零點則
”不成立.
再證充分性.
方法一:
當時,
.
令,解得
.
(i)當,即
時,
,
所以在
上單調(diào)增.
又,
所以有且只有一個零點.
(ii)當,即
時,
,
隨
的變化情況如下:
0 | |||||
0 | 0 | ||||
極大值 | 極小值 |
當時,
,
,所以
又
所以有且只有一個零點.
(iii)當,即
時,
,
隨
的變化情況如下:
0 | |||||
0 | 0 | ||||
極大值 | 極小值 |
因為,所以
時,
令,則
.
下面證明當時,
.
設(shè),則
.
當時,
在
上單調(diào)遞增;
當時,
在
上單調(diào)遞減
所以當時,
取得極大值
.
所以當時,
, 即
.
所以.
由零點存在定理, 有且只有一個零點.
綜上, 是函數(shù)
有且只有一個零點的充分不必要條件.
方法二:
當時,注意到
時,
,
,
,
因此只需要考察上的函數(shù)零點.
(i)當,即
時,
時,
,
單調(diào)遞增.
又
有且只有一個零點.
(ii)當,即
時,以下同方法一.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線在第一象限內(nèi)的點
到焦點
的距離為
.
(1)若,過點
,
的直線
與拋物線相交于另一點
,求
的值;
(2)若直線與拋物線
相交于
兩點,與圓
相交于
兩點,
為坐標原點,
,試問:是否存在實數(shù)
,使得
的長為定值?若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)
(1)當時,解不等式:
;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤4的解集為[﹣1,7],且兩正數(shù)s和t滿足,求證:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知極坐標系的極點在平面直角坐標系的原點處,極軸與
軸的非負半軸重合,且長度單位相同,直線
的極坐標方程為
,曲線
(
為參數(shù)).其中
.
(1)試寫出直線的直角坐標方程及曲線
的普通方程;
(2)若點為曲線
上的動點,求點
到直線
距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)+交通”模式的迅猛發(fā)展,“共享自行車”在很多城市相繼出現(xiàn).某運營公司為了了解某地區(qū)用戶對其所提供的服務(wù)的滿意度,隨機調(diào)查了40個用戶,得到用戶的滿意度評分如下:
用系統(tǒng)抽樣法從40名用戶中抽取容量為10的樣本,且在第一分段里隨機抽到的評分數(shù)據(jù)為92.
(1)請你列出抽到的10個樣本的評分數(shù)據(jù);
(2)計算所抽到的10個樣本的均值和方差
;
(3)在(2)條件下,若用戶的滿意度評分在之間,則滿意度等級為“
級”.試應(yīng)用樣本估計總體的思想,估計該地區(qū)滿意度等級為“
級”的用戶所占的百分比是多少?(精確到
)
參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
,若橢圓
:
,則稱橢圓
與橢圓
“相似”.
(1)求經(jīng)過點,且與橢圓
:
“相似”的橢圓
的方程;
(2)若,橢圓
的離心率為
,
在橢圓
上,過
的直線
交橢圓
于
,
兩點,且
.
①若的坐標為
,且
,求直線
的方程;
②若直線,
的斜率之積為
,求實數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某組織在某市征集志愿者參加志愿活動,現(xiàn)隨機抽出60名男生和40名女生共100人進行調(diào)查,統(tǒng)計出100名市民中愿意參加志愿活動和不愿意參加志愿活動的男女生比例情況,具體數(shù)據(jù)如圖所示.
(1)根據(jù)條件完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有
的把握認為愿意參與志愿活動與性別有關(guān)?
愿意 | 不愿意 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
總計 |
(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從愿意參加志愿活動的市民中選取7名志愿者,再從中抽取2人作為隊長,求抽取的2人至少有一名女生的概率.
參考數(shù)據(jù)及公式:
.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).在極坐標系(與平面直角坐標系
取相同的長度單位,且以原點
為極點,以
軸非負半軸為極軸)中,直線
的方程為
.
(1)求曲線的普通方程及直線
的直角坐標方程;
(2)設(shè)是曲線
上的任意一點,求點
到直線
的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費(單位:千元)對年銷售量
(單位:
)和年利潤
(單位:千元)的影響,對近13年的宣傳費
和年銷售量
數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
由散點圖知,按建立
關(guān)于
的回歸方程是合理的.令
,則
,經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù):
| |||||
10.15 | 109.94 | 0.16 | -2.10 | 0.21 | 21.22 |
(1)根據(jù)以上信息,建立關(guān)于
的回歸方程;
(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤與
的關(guān)系為
.根據(jù)(1)的結(jié)果,求當年宣傳費
時,年利潤的預(yù)報值是多少?
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
,
.
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