Question

已知橢圓的離心率．直線x=t（t＞0）與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△ABC的面積為，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓 的離心率 ，知 ．由此能求出橢圓E的方程．（2）依題意，圓心為C（t，0），（0＜t＜2）．由得．所以圓C的半徑為．由圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=t，知，即，所以弦長由此能求出ABC的面積的最大值．
解答：解：（1）∵橢圓的離心率，∴．解得a=2．
∴橢圓E的方程為．．…（4分）
（2）依題意，圓心為C（t，0），（0＜t＜2）．
由得．∴圓C的半徑為．
∵圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=t，
∴，即．
∴弦長．
∴△ABC的面積．∴
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為． …（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和三角形的面積的最大值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．